【中学/数学】関数が苦手な中学生でもカンタンに出来る!④関数の式を求めよう

 

 

 

関数,グラフが苦手な中学生へ基礎基本を教えます

 

 

新潟県の家庭教師ホームティーチャーズです♪

 

このページは、中学数学の関数(比例,反比例、一次関数、関数y=ax²)が苦手な生徒さん向けに、基礎基本やポイント解説をまとめた記事の続きです。

 

 

 

「これだけはできるようにしたい!」という基礎基本にしぼって解説してきましたが、ここまでの内容を理解できれば、高校入試も怖くありません!

 

 

4回目になりますが、今回が最終回

 

少し長いですが、ぜひ、1回目から順番に学習してみて下さい♪

 

 

家庭教師による連載1回目から3回目はこちら

 

→ 第1回「座標軸や座標の意味が分かること」

 

 

→ 第2回「関数のグラフを描くこと」

 

 

→ 第3回「関数の式に値を代入すること」

 

 

 

最終回のテーマは、条件から関数の式を求めること

 

 

y=・・・ という関数の式を求めることが出来れば、第2回テーマのグラフも描けますし、第3回テーマの値を求めることもできます。

 

 

ここまで来れば、もうどんな問題が来ても安心です!

 

 

 

▼目次

  1. 第3回の復習
  2. 一次関数の式を求めるってどういうこと?
  3. 具体的な条件は4パターンのみ?
  4. ①傾き+切片の例題
  5. ②傾き+通る点,③切片+通る点の例題
  6. ④通る点+通る点の例題
  7. まとめ,一次関数以外の例題

 

 

↓新潟県の家庭教師ホームティーチャーズ↓

 

第3回の復習

 

 

前回③では、関数の式(y=2x+1 とか y=3x² )の x や y の代わりに、数値(x=-3 とか x=2)を入れました。

 

これを代入と呼びましたね。

 

 

例えば、一次関数 y=2x+1 に、x=3 を代入すると、y=2×3+1 y=7 という値が出てきます。

 

 

この (x , y)=(3 , 7)という座標は、一次関数 y=2x+1 のグラフが通る点の座標ということも解説しました。

 

逆に言えば、グラフ上の点、グラフが通る点の座標なら代入できるということでした。

 

(よく分からないという中学生は第3回に戻りましょう)

 

 

 

今回は、これらを利用して、色々な条件から関数の式を求める問題を解説していきます。

 

新潟県の高校入試でも、最も式を求める頻度の高い一次関数の例題をやってみましょう♪

 

 

比例,反比例、関数y=ax²の式を求める問題は、ページ下部の別ファイルを参考にしてみて下さい

 

 

▲目次にもどる

 

一次関数の式を求めるってどういうこと?

 

 

さて、一次関数がどういう式になるかは覚えていますか?

 

 

一次関数の式は、y=ax+b です。

 

a,bには具体的に数値が入り、aを傾きbを切片(y切片)と呼びます。

 

(少しでも忘れていたら、必ず第2回に戻りましょう)

 

 

 

「一次関数の式を求めること」は、言いかえれば、この「傾きa、切片bを求めること」です。

 

a=3,b=-1と分かれば、式は y=3x-1 と求められますし、

a=-1,B=5と分かれば、式は y=-x+5 と求められます。

 

 

それでは、どういう条件が与えられたときに、どのように求めれば良いのでしょうか?

 

 

▲目次にもどる

 

具体的な条件は4パターンのみ?

 

 

一次関数の式を求める問題で与えられる条件は、

 

傾きが与えられている、もしくはグラフなどから読み取れる

切片が与えられている、もしくはグラフなどから読み取れる

グラフが通る点が与えられている、もしくはグラフなどから読み取れる

 

これらの組み合わせです。

 

 

①傾き+切片

 

②傾き+通る点

 

③切片+通る点

 

④通る点+通る点

 

この4パターンしかありません

 

 

どんな問題でも、必ずこの4パターンのいずれかが条件として与えられているはずです。

 

それぞれのパターンでの式の求め方を新潟の家庭教師が解説していきます。

 

 

▲目次にもどる

 

①傾き+切片の例題

 

 

傾きaと切片bが分かれば、y=ax+b に当てはめるだけです。

 

 

例題①-1 傾きが4、切片が3の一次関数の式を求めよ

 

 

式は、y=4x+3 です。

 

これは簡単ですね。

当てはめるだけです。

 

 

例題①-2 グラフが一次関数 y=4x+1 と平行で、y軸とy座標3でぶつかる一次関数の式を求めよ

 

 

 

「グラフが平行=傾きが同じ」ですから、傾きは4です。

 

また、グラフがy軸とぶつかるところが切片ですから、切片は3です。

 

つまり、式は y=4x+3 です。

 

 

こちらはヒネリがありますが、本質的には①-1と同じだと気づいたでしょうか?

 

こちらも当てはめるだけ。

 

▲目次にもどる

 

 

②傾き+通る点,③切片+通る点の例題

 

 

②,③は同じ解き方です。

 

カンタンな一次方程式が解ければ、式を求められます。

 

 

例題②-1 傾きが4で、グラフが点( 1 , 7)を通る一次関数の式を求めよ

 

 

求める関数の式を、y=4x+b とする

(解説:傾きは分かっているので先に入れます)

 

グラフが点(1,7)を通ることから、この座標を代入して、

(解説:グラフが通る点の座標は代入できる)

 

7=4×1+b

(解説:bに関する一次方程式です)

 

b=3

 

式は、y=4x+3

 

 

 

例題③-1 切片が3で、グラフが点(-1 , -1)を通る一次関数の式を求めよ

 

 

求める関数の式を、y=ax+3 とする

(解説:切片は分かっているので先に入れます)

 

グラフが点(-1,-1)を通ることから、この座標を代入して、

(解説:グラフが通る点の座標は代入できる)

 

-1=a×(-1)+3

(解説:aに関する一次方程式です)

 

a=4

 

式は、y=4x+3

 

 

 

後は①と同様、少しヒネリのある条件ですが、解き方自体は変わりません。

 

 

例題②-2 グラフが一次関数y=4x-2と平行で、また、一次関数y=-2x+9とx座標1の点を共有する

 

求める関数の式を、y=4x+b とする

(解説:平行=傾きが同じ)

 

y=-2x+9 に、x=1 を代入して、

(解説:グラフが通る点の座標は代入できる)

 

y=-2×1+9=7 つまり、共有する点の座標は、(1,7) である

 

y=4x+b に、座標(1,7)を代入して、

(解説:グラフが通る点の座標は代入できる)

 

7=4×1+b

(解説:bに関する一次方程式です)

 

b=3

 

求める式は、y=4x+3

 

 

 

例題③-2 グラフが(-1 , -1) を通り、一次関数 y=-x+3 と y軸上でぶつかる一次関数の式を求めよ

 

一次関数 y=-x+3 とy軸上でぶつかることから、求める一次関数の y切片は 3 である

 

したがって、その式を y=ax+3 とすると、

 

グラフが、点(-1 , -1)を通ることから、この座標を代入して、

(解説:グラフが通る点の座標は代入できる)

 

-1=a×(-1)+3

(解説:aに関する一次方程式です)

 

a=4

 

求める式は、y=4x+3

 

▲目次にもどる

 

 

④通る点+通る点の例題

 

 

④も、②,③とほぼ同じ解き方です。

 

連立方程式になるところだけが違いです。

 

 

例題④ グラフが2点 (1,7) (-1, -1) を通る一次関数の式を求めよ

 

 

求める関数の式を、y=ax+b とすると、

 

グラフが点(1,7)を通ることから、この座標を代入して、

(解説:グラフが通る点の座標は代入できる)

 

7=a×1+b

a+b=7 ・・・①

 

 

また同様に、点(-1 , -1)を通ることから、この座標を代入して、

(解説:グラフが通る点の座標は代入できる)

 

-1=a×(-1)+b

a-b=1 ・・・②

 

①,②より(連立方程式を解く) a=4 , b=3

 

求める式は、y=4x+3

 

 

 

まとめ,一次関数以外の例題

 

 

一次関数の式を求める問題について、与えられる条件のパターン別に解き方,手順をご紹介しました。

 

 

くり返しになりますが、どんな問題でも上の4パターンのいずれかです。

 

高校入試レベルの応用問題,発展問題でも同じです。

 

 

 

与えられた条件が、①から④のどのパターンになっているのか見極められれば、あとは簡単でしたね♪

 

 

一次関数の式は、必ず y=ax+b です。

 

①なら、a,bを当てはめる

 

②,③なら、aまたはb 片方を当てはめてから、グラフが通る点の座標を代入して一次方程式を解く

 

④なら、グラフが通る2点の座標を代入して、a,bの連立方程式を解く

 

これだけです。

 

 

以上、関数が苦手な中学生に向けた、家庭教師による基礎基本解説を終わります!

 

第1回から今回まで、長い記事を読んでいただきありがとうございました。

 

 

 

その他の関数の例題と解き方はこちら

 

→ 比例

 

→ 反比例

 

→ 関数y=ax²

 

▲目次にもどる

 

関連記事

→ 数学が苦手な中学生はここから始めよう

 

 

→ 英語が苦手な中学生はここから見直そう

 

 

 

↓家庭教師の無料体験授業実施中↓

 


カテゴリーリスト